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Señales y sistemas

domingo, 28 de agosto de 2011 César Cabrera Dejar un comentario Ir a comentarios

El tema oficial de la tercera semana de clases del curso Comunicaciones I del programa de Ing. de sistemas y computación de la Universidad Tecnológica de Pereira versa sobre la relación existente entre los sistemas y las señales, a continuación el resumen. Disfrútenlo.

Señales pares e impares

Antes de continuar, hay que terminar la clasificación de las señales. Cualquier señal o función puede ser par o impar según la simetría que tenga, es decir, si f(-t) = f(t) la señal f es par, pero si f(-t)=-f(t) la señal es impar. No todas las señales son exclusivamente pares o impares hay algunas que no cumplen con ninguna de las reglas anteriores, para ellas, la señal debe estar compuesta por una parte par o una impar, es decir: f(t)=fi(t)+fp(t), donde fi es la parte impar de f, y fp es la parte par de f. Si en la ecuación anterior se hace f(-t), entonces el lado derecho se convierte en -fi(t)+fp(t) dado que son las partes pares e impares. De la suma de f(-t) con f(t) se obtiene que fi(t)=(f(t)-f(-t))/2 y fp(t)=(f(t)+f(-t))/2. Esta importante propiedad, ilustra que cualquier función tiene una parte par y una parte impar.

Señales notables

Sistemas y sus propiedades

Según el libro [HYK, 2ed, pag. 2], un sistema es «una entidad que manipula una o varias señales con el fin de cumplir una función, generando así nuevas señales». La principal característica, distintiva de un sistema, es que su entrada es una función arbitraria, no sólo una variación lineal del tiempo como una variable independiente. Por lo general, las señales se consideran variando por lo menos parcialmente del tiempo, es decir, x(t) en el caso de las señales contínuas y x[n] en el caso de señales discretas.

Un sistema se puede ver como una expresión que relaciona la entrada x(t) con el resultado y(t). Generalmente, un sistema se asocia a un operador que abstrae la operación que se realiza sobre la entrada.

Propiedades de los sistemas:

Estabilidad: BIBO Stable (entrada acotada implica salida acotada). Estable: Promedio móvil, inestable: r^n*x[n] para r>1.
Memoria
Causalidad: Depende exclusivamente de valores presentes o pasados de x
Invertibilidad: Existencia de una operación de inversión. H^-1, tal que H^-1{H{x(t)}}=x(t). Integrales y derivadas: invertibles; No invertible: x^2 (dado que para dos valores distintos de x(t) (x(t)=2 y x(t)=-2) el resultado del operador es el mismo valor de salida, por lo tanto de éste valor no se deduce cuál fue la entrada original (¿2 ó -2?).
Invariabilidad en el tiempo: y(t-t0)=H{x(t-t0)}. Cierta variación en la entrada, digamos t0 implica la misma variación en la entrada. Inductor vs Termistor, ¿cuál es invariable y cuál no?.
Linealidad: Si x(t)=sum(ai*xi(t)) → H{x(t)}=sum(ai*H{xi(t)})

Sistemas LTI y la convolución

Los sistemas LTI son un importante subconjunto de los sistemas y, dado que cumplen las propiedades de linealidad e invariabilidad en el tiempo, la salida de los mismos puede ser completamente caracterizada por la respuesta a un impulso y su respuesta a una señal arbitraria x(t) puede ser calculada mediante la convolución con su respuesta al impulso, es decir, para calcular la salida de un sistema sólo es necesario conocer la excitación x(t) y la respuesta a un impulso, h(t). La operación de convolución es equivalente para los sistemas discretos.

Leer más en Convolución de tiempo contínuo.

[Video] Explicación analítica de la convolución contínua