Introducción a las señales
Este es el resumen de una de mis clases de Comunicaciones I, la semana 2 del curso para Ing. de sistemas y computación de la UTP, hecho por dos de los estudiantes asistentes. El resumen es editado por mí, pero adjunto el archivo original de los estudiantes. Disfrútenlo.
Definiciones de Señal:
- “Función de una o más variables que transportan información acerca de la naturaleza de un fenómeno físico.” Signals and systems, 2Ed, S. Haykin, B. Van Veen.
- “Cualquier cantidad física que varía con el tiempo, espacio o cualquier otra variable o variables independientes.” (Proakis, Manolakis).
Gracias a estas definiciones, podríamos decir que: “Una señal es una representación de un fenómeno físico que nos permite describir su comportamiento y naturaleza por medio de una función compuesta de variables independientes”. Durante las clases, yo hago énfasis en que lo que distingue a una función matemática ordinaria de una señal es su uso para transmitir información.
Por ejemplo, un fenómeno físico es la comunicación: esta puede ser entre humanos, animales, dispositivos electrónicos, etc., en ella, la señal es alterada por los fenómenos de transmisión, pero la información debe ser recuperada intacta o con alteraciones que no supongan la pérdida del sentido de la misma.
Clasificación de las señales
Dado que una señal es equiparable en muchos sentidos a una función en el sentido clásico del cálculo, muchas caracterizaciones de las mismas dependerán de las características de su dominio o de su imagen, es decir, los valores que puede tomar la variable independiente (dominio) o los que resulten de la función misma aplicada a un valor arbitrario (imagen).
Señales Continuas Vs Discretas: Las señales continuas son aquellas cuyo dominio es contínuo, generalmente se le llaman continuas en el tiempo, dado que las señales dependen con mucha frecuencia del tiempo y éste es su dominio natural. Por otro lado, las señales discretas se definen sobre un dominio entero, es decir, el tiempo está compuesto por números enteros. Una forma de obtener una señal discreta a partir de una contínua es tomando muestras, cada muestra constituiría un valor de la señal discreta y correspondería al valor de la señal contínua en el tiempo n*delta. Convencionalmente, las señales contínuas se denotan f(t) y las discretas f[n] o f[k], siendo n y k el número de la muestra de f.
Discretas: f[n] = x[n]
Continuas: f(t) = x(t)
Señales Analógicas Vs Digitales: Se refieren a los valores posibles de salida de una función. De las señales analógicas pueden resultar valores arbitrarios, ésto es, la imagen es contínua; las digitales, sólo dan como resultado una cantidad finita de valores posibles.
Decimos entonces que:
- Señales Digitales = Valores de su imagen son finitos
- Señales Analogicas = Valores su imagen son infinitas.
Señales Deterministicas Vs no deterministicas: Las señales determinísticas son aquellas en la cuales sus valores son predecibles, generalmente mediante una expresión matemática, las no determinísticas surgen como resultado de un proceso aleatorio o estocástico y su siguiente resultado es impredecible dentro de ciertos límites. Para la caracterización, análisis y predicción de procesos estocásticos, se usan las herramientas de la estadística como promedios, varianzas, desviaciones, distribuciones de densidad de probabilidad entre otras.
Señales de Energía Vs Señales de Potencia: Dado que en comunicaciones es importante determinar la cantidad de energía invertida en la generación de una señal, una importante clasificación de las señales es si su energía es finita. Un caso en el que no lo es, sería una señal períodica. Las señales de energía, llamadas así porque su energía es finita, permite calcular su energía mediante la integración del cuadrado de la función en todo el dominio, dado que tal integral es un número, por otro lado si una señal no es de energía, se deberá sacar un promedio de la energía (la potencia) durante un intervalo T, es decir, se sacará la integral del cuadrado de la señal desde -T/2 a T/2 y tal número se divide por T. El ejemplo típico de una señal de potencia es una señal periodica y de una señal de energía es una señal que tiene rápidamente a cero hacia el infinito.
Periodica vs no – Periodica: La señal periodica es aquella cuyos valores se repiten de manera exacta cada T unidades de tiempo. Dado que si f(t+T)=f(t), f(t+2*T)=f(t), existe un número mínimo T llamado T sub cero o T0 llamado el periodo fundamental. Una señal no periodica es aquella que no cumple con la definición de periodicidad.
Las señales periodicas se asocian también con la frecuencia, que consiste en cuántas repeticiones de la señal suceden en un intervalo de tiempo. Si la frecuencia se mide en segundos, la unidad de medida es Hertz y su símbolo es f, por otro lado si la unidad de medida es radianes, si símbolo es la letra ómega en minúsculas (parecida a una w) y se le llama frecuencia angular.
La periodicidad en funciones discretas es muy engañosa: una señal discreta sólo es periodica, si su frecuencia angular, denotada por la letra ómega mayúscula, es un múltiplo o fracción de pi. Por ejemplo, la función f[n]=sin(n*pi/10) es períodica y cumple con la definición de periodicidad, pero la función f[n]=sin(n*0.2) no lo es, a pesar de que la expresión matemática que la genera es muy similar a la anterior.
Finalmente, para poder establecer una relación numérica entre la frecuencia angular y la frecuancia «temporal», se establecen las siguientes relaciones:
f=1/T, donde T es el periodo fundamental y f se denomina frecuencia fundamental.
w=2*pi*f, donde w (ómega minúscula) es la frecuencia angular y f es la frecuencia «temporal» medida en Hertz.
Operaciones básicas sobre señales
Dado que las señales son funciones matemáticas, con ellas se puede efectuar operaciones que afectan bien sea la imagen (resultados de la función) o el dominio.
Las siguientes son operaciones básicas que se realizan sobre la variable independiente (el dominio):
- Eslacamiento en el tiempo: si f(t)=x(c*t). La constante c determina si la función x se recorre más rápido o más lentamente, para c>1 x(t) se recorre más rápido, por lo tanto, geométricamente la función se comprime. Para 0 < c < 1, x(t) se dilata.
- Inversión del tiempo: si en el caso anterior, hacemos c=-1, la función se invierte respecto al eje y.
- Desplazamiento en el tiempo: f(t)=x(t-c). El desplazamiento gráficamente consiste en mover la forma de la función x, c unidades hacia la derecha o izquierda, en el caso en que c>0, la figura se mueve hacia la derecha, si c<0 se mueve hacia la izquierda. Note que el signo del desplazamiento es negativo, es decir x(t-5) mueve x 5 unidades hacia la derecha (5>0), x(t+5) la mueve hacia la izquierda.
Las siguientes son operaciones que se realizan sobre la variable dependiente (la imagen):
- Escalamiento en amplitud: f(t)=c*x(t). Este caso se parece al escalamiento en el tiempo, sólo que en vez de obtener compresión/dilatación horizontalmente, la tenemos verticalmente.
- Adición: f(t)=x1(t)+x2(t). Importante operación en comunicaciones, dado que muchas veces varias señales son sumadas en alguna etapa de la comunicación.
- Multiplicación: f(t)=x1(t).x2(t). La multiplicación también es muy importante en comunicaciones, porque fenómenos como las modulaciones consisten en la multiplicación de una señal por otra, denominadas mensaje y portadora.
- Diferenciación: f(t)=dx(t)/dt. Ocurre naturalmente en componentes electrónicos, como una inductancia, cuyo voltaje es una constante por la derivada de la corriente que la atraviesa.
- Integración: f(t)=int[x(t)], donde int es la integración de la función x(t), respecto a una variable muda (tau por ejemplo) desde menos infinito hasta t. Un capacitor efectúa naturalmente ésta operación sobre la corriente que lo atraviesa.
Una nota que hay que tener en cuenta, es que cuando una función sufre simultáneamente desplazamiento y escalamiento en el tiempo, las operaciones se deben hacer en ese orden precisamente. La idea es que si f(t)=x(t), f(t)=x(at-b) implica f(0)=x(-b) y f(b/a)=x(0). Si las operaciones de desplazamiento y escalamiento no se hacen en el orden correcto las últimas situaciones pueden no darse.
Archivos:
- Ejemplos: Ejemplos de clasificación de señales en Matlab
- Resumen original por Juan P. Montoya Gomez y Carlos A. Mesa Pelaez: resumen