El objetivo de este artículo es ayudar a quienes tienen dificultades para interpretar problemas que implican ecuaciones de primer grado, es decir, para expresar los enunciados de los problemas en lenguaje matemático.
Obviamente, también mostraremos paso a paso una de las aplicaciones de gran importancia de las ecuaciones que es la resolución de problemas.
Problemas de ecuaciones de primer grado – Método paso a paso
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones, y algo que aparece mucho en los concursos, es la resolución de problemas.
A través de las ecuaciones, podemos expresar los enunciados de muchos problemas en lenguaje matemático.
De este modo, los problemas que antes parecían demasiado complejos se vuelven más sencillos de resolver.
A continuación se presenta una breve guía paso a paso para resolver ecuaciones y problemas:
- Intenta identificar la variable desconocida en el problema y represéntala con una letra.
- Equiparar el problema. Saca toda la información y establece la ecuación del problema.
- Resuelve la ecuación.
- Después de resolver la ecuación, vuelve a comprobar si la solución encontrada satisface las condiciones (enunciado) del problema.
Los pasos anteriores se describen en las resoluciones de cada uno de los problemas que aparecen a continuación.
Los problemas se colocaron en orden creciente de dificultad, es decir, el primero es más sencillo y el último más elaborado. Pero, esto depende mucho de su nivel de conocimiento.
Un consejo más: intenta estudiar la resolución sólo después de haber intentado encontrar la solución por ti mismo. Eso te ayudará a aprender mejor.
Vea a continuación los enunciados de los problemas con ecuaciones de primer grado.
«Si encuentras un camino sin obstáculos, probablemente no te lleve a ninguna parte». ~
Frank A. Clark
Enunciados de problemas
- Con el doble de la cantidad que tiene Mark más 15 dólares se puede comprar exactamente un artículo que cuesta 60 dólares. ¿Cuánto tiene Mark?
A) DINERO
B) $2.50
C) $22.00
D) $22.50
- Un número sumado a su mitad es igual a 45. ¿Qué es este número?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 90
3 José recorre 350 kilómetros para ir en coche desde su casa a la ciudad donde viven sus padres. En uno de estos viajes, después de algunos kilómetros, se detuvo para tomar una taza de café. A continuación, recorrió el triple de kilómetros que había recorrido antes de detenerse. ¿Cuántos kilómetros recorrió después del café?
A) 87,5
B) 125,6
C) 262,5
D) 267,5
E) 272,0
4 Un conductor, después de haber llenado el depósito de su vehículo, gastó 1/5 de la capacidad del depósito para llegar a la ciudad A; gastó otros 28 L para ir de la ciudad A a la ciudad B; quedó una cantidad de combustible en el depósito que correspondía a 1/3 de su capacidad. Cuando el vehículo llegó a la ciudad B, había menos de:
A) 10 L
B) 15 L
C) 18 L
D) 20 L
E) 21 L
respuesta: E
5. Eduardo tiene $ 1.325 y Alberto, $ 932. Eduardo ahorra 32,90 rupias al mes y Alberto 111,50 rupias. ¿Después de cuánto tiempo tendrán cantidades iguales?
A) 3 meses
B) 5 meses
C) 7 meses
D) 9 meses
Soluciones a los problemas
Problema 1.
Empecemos representando la variable desconocida del problema con una letra (¡tú eliges!). La variable desconocida en el problema es la cantidad de dinero que tiene Marcos (lo que el problema quiere saber).
Variable desconocida: cantidad de dinero que tiene Marc: q
Fíjate que estamos tratando con una cantidad de dinero, por lo que «q» sólo puede tomar valores, en este caso, enteros o decimales, pero no negativos, ¿vale?
Doble la cantidad que tiene Mark: 2.q o 2q.
Verás, Mark tiene una cantidad q, así que el doble de q es 2q.
Ecuación: 2q + 15 = 60.
El problema dice: el doble de la cantidad que posee Marcos (2q) más quince dólares (+15) da para comprar exactamente un objeto que cuesta sesenta dólares (= 60), es decir, si «da para comprar exactamente» (¡exactamente!) significa entonces que es igual (=).
Resolución:
2q + 15 = 60 <=> 2q = 60 – 15 <=> 2q = 45 <=> q = 45/2 <=> q = 22,50 dólares .
Comprobar si la solución (valor de q) satisface las condiciones del problema:
22,50 es decimal, positivo (¡bien!). El doble de 22,50 es 45,00 y 45,00 más 15 es exactamente 60. 🙂
Por lo tanto, Marcos tiene 22,50 dólares.
Problema 2.
Este problema es bastante simple (no fácil). Presta atención a la fracción que aparecerá en la solución.
Desconocido: un número: n.
Puede ser cualquier número, aquí lo llamaremos n.
Su mitad: n/2 (n dividido por 2).
Para encontrar la mitad de un número, basta con dividirlo entre dos.
Ecuación: un número (n) sumado (+) con su mitad (n/2) es igual (=) a 45.
n + n/2 = 45.
Resolución:
n + n/2 = 45 <=>
Calcular la mmc para igualar los denominadores (o no necesariamente) y hacer las multiplicaciones correspondientes.
<=> 2n + n = 90 <=> 3n = 90 <=> n = 90/3 <=> n = 30.
Comprueba tú mismo si la solución satisface las condiciones del problema.
Por lo tanto, el número buscado es 30.
Problema 3.
Este es un tipo de problema en el que hay que pensar «hacia atrás» para determinar su incógnita.
Fíjese en el siguiente extracto de la declaración:
«recorrió el triple de los kilómetros que había recorrido antes de detenerse…»
Supongamos que José, antes de detenerse, ha recorrido una distancia d. Entonces, el triple de d es 3d, ¿vale?
Entonces, acabamos de representar la incógnita del problema por d.
Desconocido: la cantidad recorrida antes de detenerse: d.
El triple de la cantidad recorrida: 3d.
Ecuación:
Según el problema, José recorre una cantidad d antes de detenerse y luego recorre el triple de esa cantidad, es decir, 3d. Por tanto, la distancia total recorrida por José es (d + 3d).
Pero, el problema también dice que el total recorrido (cantidad) hasta la casa de los padres es de 350 km.
Por lo tanto, concluimos que las cantidades deben ser iguales.
d + 3d = 350.
Resolución:
d + 3d = 350 <=> 4d = 350 <=> d = 350/4 <=> d = 87,5 km (ojo, esta no es la respuesta final, ¿ves?).
Después del café, José ha viajado tres veces más que d, es decir,
3 x 87,5 = 262,5 km.
Esta solución satisface las condiciones del problema. No es un número negativo. Si sumamos la distancia que José recorrió antes del desayuno con la que recorrió después, obtenemos 350 km. (¡compruébalo!)
Problema 4.
La resolución de este problema es similar a la del problema 2, pero con mucha más información. ¡Veamos!
Para responder a la pregunta del problema, primero debemos conocer la capacidad del depósito, ¿no?
Desconocido: capacidad del tanque: c.
1/5 de la capacidad del tanque para llegar a la ciudad A: 1/5 de c = c/5.
1/3 de su capacidad: 1/3 de c = c/3.
Ecuación:
Para armar la ecuación debemos tener en cuenta que la capacidad del tanque menos lo consumido para llegar a la ciudad B es igual a lo que queda en el tanque, es decir,
(capacidad del depósito) – (lo consumido) = (lo que queda en el depósito).
c – (c/5 + 28) = c/3
El consumo para llegar a la ciudad B fue (c/5 + 28), es decir, hasta A, c/5 y de A a B, 28 litros.
Resolución:
c – (c/5 + 28) = c/3 <=> (quitando de los paréntesis, multiplicando los signos).
<=> c – c/5 – 28 = c/3 <=> (igualando los denominadores con el cálculo de la mmc y ya simplificando)
<=> 15c – 3c – 420 = 5c <=>
<=> 15c – 5c – 3c = 420 <=>
<=> 7c = 420 <=>
<=> c = 60 L.
Ahora ya sabemos la capacidad del depósito, que es de 60 litros.
Según el problema, queda un tercio de la capacidad (c/3) en el depósito, por lo que 60/3 = 20 L. Quedan 20 L en el depósito y 20 es menos que 21. 🙂
Por lo tanto, cuando el vehículo llegó a la ciudad B, había en el depósito menos de 21 L.
Observaciones:
- A la hora de resolver este tipo de problemas tenemos dos situaciones, una es igualar el problema y la otra es resolver la ecuación. Si tienes dificultades para resolver ecuaciones de primer grado, este no es el objetivo aquí, te sugiero que estudies antes esta parte, que es más técnica (cálculo).
- Observa que la pregunta del problema se centra en «menos que» y no en «cuánto» o «exactamente». Encontramos para la capacidad del tanque, 20 L y tiene ese valor en las alternativas, pero eso no es el foco de la pregunta (¡comprobar!).
Problema 5.
Este problema es un poco más elaborado que los demás, así que vamos a resolverlo por partes. 🙂
Definamos nuestra incógnita. Ya te habrás dado cuenta de que ya es hora, ¿vale?
Desconocido: tiempo (en meses) en que tendrán cantidades iguales: t.
Como Eduardo y Alberto tienen diferentes cantidades de dinero y ahorros, lo haremos por separado por ahora.
Eduardo: tiene 1325 dólares y ahorra 32,90 dólares al mes.
¿Cómo calculamos la cantidad total que tendrá Eduardo a lo largo de los meses?
Pensemos un poco antes, porque lo mismo ocurrirá con Albert.
Total en 1 mes: 1325 + 32,90 = $ 1357,90
Total en 2 meses: 1325 + (32,90 x 2) = 1325 + 65,80 = $ 1390,80.
Total en 3 meses: 1325 + (32,90 x 3) = 1325 + 98,70 = $ 1423,70.
Bien, creo que te habrás dado cuenta de que el total al final de cada mes, se obtendrá por la suma de la cantidad que tiene Eduardo con el total ahorrado que viene dado por, producto de 32,90 por el número de meses.
Pero como llamamos al tiempo t, sustituyamos el número de meses por t. Haciendo esto, obtenemos una expresión que nos da la cantidad total que tendrá Eduardo en t meses (cualquier número de meses).
Total en t meses: 1325 + (32,90 x t) = 1325 + 32,90t.
Ecuación del importe para Eduardo: 1325 + 32,90t.
El mismo razonamiento se aplica a Alberto, ya que el tiempo debe ser el mismo.
Ecuación del importe para Alberto: 932 + 111,50t.
Créame, la parte más difícil del problema ya se ha resuelto. 🙂
La pregunta es: después de cuánto tiempo ( t meses) tendrán cantidades iguales ( = ).
Ecuación y resolución:
Cantidad de Eduardo = Cantidad de Alberto.
1325 + 32,90t = 932 + 111,50t <=>
<=> 1325 – 932 = 111,50t – 32,90 <=>
<=> 393 = 78,60t <=>
<=> 393/78,60 = t <=>
<=> t = 5 meses.
Por lo tanto, Alberto y Eduardo tendrán cantidades iguales después de 5 meses.
Consideraciones finales
En la resolución de problemas que implican cualquier tipo de ecuación, hay que tener en cuenta dos puntos.
La primera, es equiparar el problema. Hay que tomar la información del enunciado y expresarla en el lenguaje de las matemáticas.
En este punto muchos alumnos tienen grandes dificultades, quizás por falta de interpretación y créanme, no es culpa del profesor de portugués.
La solución es practicar, practicar y practicar. Empezando por los problemas más sencillos (¡los más básicos!) y pasando por los más complejos.
Con persistencia, este camino se registrará en tu memoria y con el paso del tiempo te darás cuenta de que has mejorado mucho.
El segundo punto es la resolución de la ecuación. Saber resolver una ecuación de primer grado es una parte importante y necesaria. No hay manera de evitarlo.
Por tanto, aprende a resolver una ecuación mucho antes de buscar la ecuación del problema. Hazlo y el camino hacia un mejor aprendizaje será más fácil.
Creemos que si sigue el paso a paso anterior, logrará un aprendizaje más eficiente y eficaz.
