La factorización es una herramienta esencial en álgebra, y en esta lección, nos centraremos en trinomios cuadrados perfectos. Estos trinomios tienen una forma especial que facilita su factorización.
¿Qué es un cuadrado perfecto?
Consideramos que un número es cuadrado perfecto sí, ese número es sólo el resultado de otro número elevado al cuadrado, por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto porque 52 = 25.
Ahora, aplicamos esto en una expresión algebraica, imaginemos la plaza con los lados x + y, el valor de este lado es una expresión algebraica.
Para calcular el área de esta plaza podemos seguir dos maneras diferentes:
Primer ejemplo: una fórmula para calcular el área del cuadrado es A = Lado2 entonces como el lado de ese cuadrado es x + y, sólo hay que poner en la plaza.
A1 = (x + y) 2
El resultado de esta área A1 = (x + y) 2 es un cuadrado perfecto.
Segundo ejemplo: esta plaza fue dividida en cuatro rectángulos, donde cada uno tiene su propia área, entonces la suma de todas estas áreas es la superficie total de la plaza mayor, por lo tanto:
A2 = x2 + xy + yx + y2, donde xy y yx son términos semejantes y esta expresión podemos escribirla cómo:
A2 = x2 + 2xy + y2
Las dos áreas que se encuentran representan el cuadrado de la misma área. Así que el trinomio x2 + 2xy + y2 tiene la forma del cuadrado perfecto (x+y) 2.
¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma a2 + 2ab + b2, donde a y b son términos algebraicos. La clave aquí es que el primer y el último término son cuadrados perfectos, y el término del medio es el doble del producto de las raíces cuadradas de los primeros y últimos términos.
En otras palabrass: dos términos (monomios) de la tríada deben ser cuadrados perfectos y el término (monomio) restante debe ser el doble de las raíces cuadradas de los otros dos términos.
He aquí un ejemplo:
A ver si el trinomio 16x2 + 8x + 1 es un cuadrado perfecto, para que siga las reglas anteriores:
Dos miembros de la tríada tienen raíces cuadradas y uno es dos veces el término medio, entonces el trinomio 16x2 + 8x + 1 es un cuadrado perfecto puesto que el primer término es el cuadrado de 4x, 1 es el cuadrado de 1 y 8x es el doble del producto de 4x y 1.
Pasos para factorizar trinomios cuadrados perfectos
- Identifica si el trinomio sigue la forma de un cuadrado perfecto.
- Verifica si el primer y el último término son cuadrados perfectos.
- Calcula el término del medio, que debe ser el doble del producto de las raíces cuadradas de los primeros y últimos términos.
- Expresa el trinomio como el cuadrado de un binomio.
Ejemplo de factorización
Consideremos el trinomio cuadrado perfecto x2+6x+9. Aquí, x2 y 9 son cuadrados perfectos y 6x es el doble del producto de las raíces cuadradas de x2 y 9, es decir, 2.x.3 = 6x.
La factorización de este trinomio es (x + 3)2. Notarás que este resultado sigue la forma estándar de un cuadrado perfecto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Practiquemos con otro ejemplo
Tomemos el trinomio 4y2 – 12y + 9. En este caso, 4y^2 y 9 son cuadrados perfectos, y 12y es el doble del producto de las raíces cuadradas de 4y2 y 9, es decir, 2.2y.3 = 12y.
La factorización de este trinomio es (2y – 3)^2
Ejercicios de factorización de trinomios cuadrados perfectos:
Ejercicio 1:
Dado el trinomio m2 – mn + n2, tomamos las raíces de los términos m2 y n2, las raíces son exactas, el doble de esas raíces será de 2 m. n que es diferente de la expresión por lo que podemos decir que este trinomio no es un cuadrado perfecto y por tanto no se factoriza mediante este método.
Ejercicio 2:
Dado el trinomio 1 + 9a2 – 6a. Debemos, antes de usar las reglas del cuadrado perfecto, el trinomio el trinomio con el fin de evaluar mejor, así: 9a2 – 6a +1. Ahora, tomamos la raíz de términos 9a2 y 1, que son respectivamente los términos primero y tercero. Los dobles esas raíces es 2. 3a.1=6a, que es igual aal segundo término, a continuación, se concluye que la forma cuadrada perfecta trinomio y se factoriza (3a – 1)2 .
