Inicio > clase > Serie trigonométrica de Fourier

Serie trigonométrica de Fourier

lunes, 5 de septiembre de 2011 Dejar un comentario Ir a comentarios

La cuarta semana del curso de Comunicaciones I trata sobre las series de Fourier, trigonométrica y exponencial. En ésta ocasión vamos a resumir el tema de la serie trigonométrica, que no es muy usada pero que ilustra muy bien cómo se llega al concepto de espectro de frecuencias y es un paso natural para explicar el uso de la serie exponencial de Fourier. Disfrútenlo.

Fuentes: Modern Digital & Analog Comunications system, Lathi 3rd Edition, pág. 40

Se puede hacer una analogía de los vectores con las funciones, en el sentido de que si cualquier vector puede ser expresado como combinación lineal de un conjunto de vectores ortogonales como los vectores i,j,k [ (0,0,1), (0,1,0), (0,0,1)] del espacio R3, tal vez de pueda hacer lo mismo con un subconjunto de funciones. Cuando se expresa un vector como la combinación lineal de vectores ortogonales, se puede ver que la constante que acompaña a cada vector de la base del espacio es la proyección del vector original sobre el vector de la base, por ejemplo, un vector a=(1,2,3) se expresaría como i+2j+3k, es decir que 2 es la proyección del vector a sobre el vector de la base j (0,1,0). Equivalentemente, es posible definir una proyección de una función sobre otra equiparando los conceptos a un espacio de funciones.

La proyección de un vector a sobre otro v, se define por la siguiente ecuación: c=a.v/|v|^2 (1), es decir, el vector resultante de la proyección de a sobre v sería x=c.v, donde v es un vector y c es una constante definida por la ecuación (1) y diríamos que x es una aproximación de a usando v, pero si hay suficientes vectores ortogonales con v para definir el espacio completo, entonces existiría una forma de escribir cualquier vector a como una combinación de éstos vectores base usando la misma fórmula para calcular la proyección sobre cada uno de ellos. El equivalente en funciones sería:

  • faprox(t)=c.g(t), donde c es una constante, f(t) es la función original y g(t) es una función que puede hacer parte de la base del espacio de funciones.
  • c se calcularía, equivalentemente al caso de los vectores, como int(f(t)*g(t),t1 , t2), es decir integral de la multiplicación de las funciones de t1 a t2 como límites del intervalo en el cual se comparan las funciones.

Una estimación del error cometido en la aproximación sería: ef=f(t)-c.g(t) o mejor el cuadrado de tal diferencia: ef=[f(t)-c.g(t)]^2. Para cuantificar el error usaríamos la integral del cuadrado de tal función de error:

Error en aproximación

Como queremos hallar un valor de c que nos dé la mejor aproximación posible, podemos derivar la  expresión anterior respecto a c y buscar el mínimo error posible tomando a c como variable.


Derivación del error

 

 

 

De lo anterior se deduce que el valor de la constante que minimiza el error debe ser igual a:

Constante de proyecciónResultado equivalente al de los vectores, por lo que la sugerencia de que existe un espacio de funciones y que debe existir una base ortogonal de funciones para tal espacio parece creíble. Habría que demostrar que existe un conjunto de funciones cuyo producto (integral entre sí en un intervalo) es cero para algún intervalo.

 

Como ejemplo de lo anterior, supongamos que queremos aproximar la función f(t)={ 1 si 0<t<pi y -1 si pi<t<2pi } mediante la  función sen(t) en el intervalo (0,2pi).

Aproximación

Del análisis anterior deducimos que c es la integral de f(t) por sin(t) en el intervalo (0,2pi) dividida por la integral de sen^2(t) en el mismo intervalo:

Integral de proyección

 

 

Desarrollando la integral llegamos a que c=4/pi, por lo tanto la mejor aproximación posible de la función f(t) usando sin(t) sería (4/pi)*sin(t), dado que la integral de sus diferencias al cuadrado es mínima.

 

 

Base para el espacio de funciones

¿Qué conjunto de funciones son ortogonales?, se puede demostrar fácilmente que todas las funciones seno y coseno cuyas frecuencias son múltiplos entre sí son ortogonales, es decir:

Ortogonalidad de seno

, donde w (ómega) es una frecuencia arbitraria y T es el periodo de seno con esa frecuencia arbitraria. Nótese que T=2pi/w. Cambiando la función seno por coseno se demuestra el mismo resultado, por lo tanto, podemos decir que seno es ortogonal consigo mismo si la frecuencia fundamental de las funciones es múltiplo entre sí. Por otro lado si la integral anterior n=m, se halla la norma o energía promedio de seno: T/2

Dado que la función seno es ortogonal con sigo misma bajo éstas condiciones y coseno también, falta demostrar que éstas dos funciones son ortogonales entre ellas:

Ortogonalidad de seno y coseno

 

 

Si estas funciones son ortogonales, entonces podrían ser una base para el espacio de las funciones periodicas de periodo T0 (o frecuencia w0), es decir que cualquier función periodica se puede escribir como combinación lineal de seno y coseno cuyas frecuencias son la frecuencia fundamental de la función a aproximar:

Serie de fourier trigonométrica

A ésta serie se le conoce como la serie de Fourier trigonométrica y es muy importante, entre otros campos, en las comunicaciones. Existen varias formas de expresar ésta serie, por eso agregamos el adjetivo trigonométrica, porque existe otra forma llamada exponencial que es la más comúnmente usada.

En realidad la serie se pudo haber escrito empezando desde n=0, pero reemplazando n por 0 obtenemos un caso degenerado de las funciones seno y coseno con frecuencia cero, es decir, una constante ( uno ). Si sacamos éste caso especial de la serie, obtenemos a0, que es la proyección de f(t) sobre la función g(t)=1, es decir, integral de f(t)/T0, donte T0 es el periodo fundamental de f(t). w0 siempre sigue el patrón de que To=2pi/w0, por lo tanto w0=2pi/T, para quitar la constante 2pi de algunos resultados, se suele representar la frecuencia como ciclos por unidad de tiempo o ciclos por segundo, ésta unidad es el Hertz pero cuando se cambia a esta forma de expresar se usa la letra f para representar la frecuencia en vez de w0. Se dice que w0 es la frecuencia angular y se mide en radianes.

Note que la sumatoria está compuesta por un conjunto de funciones seno/coseno de frecuencias múltiplos de la fundamental, a éstas frecuencias se les llama armónicos y a la constante se le llama componente directa en alusión a que es la cantidad constante (sin frecuencia) de la serie, en especial si una señal representa corriente, ésta porción representa la corriente directa (DC). En una entrada anterior, se definió que toda función está compuesta por una parte par y una impar, según la clasificación de las señales en par o impar por su simetría geométrica. En el caso de la serie de Fourier se puede apreciar que la sumatoria en sí misma contiene una parte par y otra impar, los términos multiplicados por an son la parte par de f(t) y los multiplicados por bn son la parte impar de f(t).

Condiciones de convergencia

Para que una serie de Fourier trigonométrica converja, la función a aproximar debe cumplir una condición conocida como la condición de Dirichlet: la integral del valor absoluto de la función a aproximar debe converger. Ésta afirmación es conocida como la condición débil, la condición fuerte consiste en que la función aproximar debe tener una cantidad finita de mínimos y máximos. Cualquier señal períodica reproducida en un laboratorio cumple la condición fuerte de Dirichlet, por lo tanto, debe tener una serie de Fourier convergente.

Categories: clase Tags:
  1. Sin comentarios aún.
  1. Sin trackbacks aún.
Debes estar registrado para dejar un comentario.